\section{问题一的模型建立与求解}
	\subsection{确立初等函数}
	根据问题一的分析，本文将先刻画出预处理后的数据图像，通过对数据图像特征的分析，选择对应的初等函数进行拟合。
	\subsubsection{刻画曲线}
	本文对预处理后的数据用Python刻画出$U-t$以及其导函数$\frac{d_U}{d_t}-t$图像，为了更好观察电压变化情况，提高模型精度，本文将时间单位由分钟转换为小时，横坐标为$t$，纵坐标为$U$或$\frac{d_U}{d_t}$，绘制曲线如\cref{fig1:放电曲线}所示。

	观察曲线发现，在电池放电的初始阶段，电压会先迅速下降，随后小幅上升，最后平稳下降至最小额定保护电压。这是因为在放电初期发生了化学变化，化学方程式如下：
	\begin{equation*}
		Pb + PbO_2 +2H_2SO_4=2H_2O+2PbSO_4
		\label{eq1:化学反应公式}
	\end{equation*}
	
	在放电过程中，正极板上的二氧化铅与硫酸反应生成水，$H^+$浓度迅速下降，从而使电压陡降。但是，当正极电荷减少到一定程度时，电荷转移会减慢，此时负极中的电荷负载还未消耗完毕，因此电压会复升。
	
	另外，电池内部的化学反应在放电后会逐渐缓解，这些反应产生的不利于电池性能的物质也会逐渐扩散到电池外部，从而使电池的内阻降低，电压回升。这种短暂现象被称为“电池恢复”。
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\includegraphics[width=0.95\textwidth]{A/放电曲线}
		\caption{放电曲线}
		\label{fig1:放电曲线}
	\end{figure}
	由于电压陡降和电池恢复发生的时间极短，而电池放电的整个周期非常长，因此我们忽略此过程，从电压稳定后开始考虑放电过程，认为电池放电过程是电压随时间的增长而下降的过程。

	\subsubsection{选择对应函数}
	观察$\frac{d_U}{d_t}-t$图像发现，放电过程中曲线保持平稳变化，直至快达到额定最小保护电压时，剧烈变化。导函数变化符合非线性拟合，因此本文选取指数函数为其拟合函数：
	\begin{equation}
		\frac{d_U}{d_t} =  a \cdot e^{bt}+c
		\label{eq1:指数函数}
	\end{equation}
	对指数函数进行积分得到原函数为\cref{eq1:原函数}，其中a、b、c、d为常数，本文将使用该式对放电曲线进行拟合求解。
	\begin{equation}
		U = \frac{a}{b} \cdot e^{bt}+ct+d
		\label{eq1:原函数}
	\end{equation}

	\subsection{原函数求解}
	确立初等函数后，以最小二乘法（误差平方和最小）为拟合准则，使用Python对原函数进行参数求解。
	\subsubsection{最小二乘法}
	最小二乘法是一种数学优化技术，其拟合准则是使$y_i$与$f(x_i)$误差平方和达到最小，在各方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止了某一极端误差取得支配地位，最终获得数据的最佳拟合函数。
	\begin{equation}
		J(\theta) = \sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - f(x_i)\right)^{2}
		\label{eq1:最小二乘法}
	\end{equation}
	其公式如\cref{eq1:最小二乘法},$f(x_i)$为理论值，$y$为观测值，在本问中，对每种电流强度的每个数据点$(t_i,U_i)$,最小化误差平方和$J$:
	\begin{equation}
		J(a,b,c,d) = \sum_{i = 1}^{n}\left\lbrack U_{i} - \left( \frac{a}{b} \cdot e^{bt}+ct+d  \right) \right\rbrack^{2}
		\label{eq1:本问最小二乘法}
	\end{equation}
	\subsubsection{求解结果}
	根据上述准则，利用python进行求解，结果如\cref{tab1:放电曲线}。选取50A，100A的电流强度，绘制对应放电曲线拟合图，以直观展示拟合结果。
	
	\begin{table}[H]  		
		\centering 	
		\caption{电压随时间变化关系}	
		\label{tab1:放电曲线}
		\begin{tabularx}{\textwidth}{>{\centering\arraybackslash}p{3cm}@{}>{\centering\arraybackslash}X@{}}
			\toprule[1.5pt] 			
			电流强度         & 放电曲线关系式       \\		
			\midrule 			
			20A & $U(t) = 0.0000 e^{1.0000t} - 12166.2884t - 192160439.5610$ \\	
			30A&   $U(t) = - 0.0000 e^{1.0000t} + 0.0508t + 8.7260$ \\		
			40A&  $U(t) = - 0.0002 e^{0.2749t} - 0.0335t + 10.6116$ \\		
			50A&  $U(t) = - 0.0002 e^{0.3684t} - 0.0417t + 10.5658$ \\		
			60A&  $U(t) = - 0.0003 e^{0.4260t} - 0.0499t + 10.5258$ \\		
			70A&  $U(t) = - 0.0004 e^{0.5021t} - 0.0580t + 10.4669$ \\		
			80A& $U(t) = - 0.0007 e^{0.5524t} - 0.0659t + 10.4258$  \\		
			90A&  $U(t) = - 0.0010 e^{0.6169t} - 0.0743t + 10.3902$ \\		
			100A&  $U(t) = - 0.0011 e^{0.6942t} - 0.0855t + 10.3582$ \\		
			\bottomrule[1.5pt] 		
		\end{tabularx}%
	\end{table}
	\begin{figure}[H]
		\centering	
		\begin{minipage}{0.48\textwidth}
			\centering-
			\includegraphics[scale=0.40]{A/50A.png}
		\end{minipage}
		\begin{minipage}{0.48\textwidth}
			\centering
			\includegraphics[scale=0.40]{A/100A.png}
		\end{minipage}
		\caption{拟合效果}
			\label{fig1:拟合效果}
	\end{figure}
	如\cref{fig1:拟合效果}所示，拟合曲线与原始数据几乎完全吻合，验证了模型在拟合过程中具有较高的准确性和良好的预测能力。
	\subsection{MRE计算}
	根据附件1中MRE的定义：从 Um 开始按不超过 0.005V的最大间隔提取 231 个电压样本点，这些电压值对应的模型已放电时间与采样已放电时间的平均相对误差即为 MRE。
	
	本文首先按照231个样本点，随后利用放电曲线关系式\cref{tab1:放电曲线}求出样本点的预测电压$\widehat{U}$，最终通过\cref{eq1:MRE}推导出各个电流下MRE值。
	\begin{equation}
		MRE = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\frac{\left| U_{i} - {\widehat{U}}_{i} \right|}{U_{i}}
		\label{eq1:MRE}
	\end{equation}
	结果如\cref{tab1:MRE值}所示：
	\begin{table}[htbp]

		\centering
	
		\caption{各电流MRE值}
	
		\label{tab1：MRE值}
	
		\begin{tabular}{ccccccccccc}
			\hline
			MRE         & 20A    & 30A & 40A  & 50A    & 60A  &70A &80A &90A &100A   \\
			\hline
			 & {\color{red}懒得喷} &  {\color{red}无敌了} & 0.0932\% & 0.0696\ & 0.0627\% &0.0693\%  &{\color{red}孩子们}& -- & --  \\
			\hline
		\end{tabular}
	
	\end{table}

	\subsection{预测剩余放电时间}